Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Введение

Уравнение линейно, если для него выполняется принцип суперпозиции решений: если u1(x), u2(x) – два решения уравнения, тогда их линейная комбинация α1u1(x)+ α2u2(x), α1, α2 ∈ R1 также является решением этого уравнения. Методы исследования линейных уравнений во многом основаны на этом принципе.
Для нелинейных уравнений принцип суперпозиции решений не выполняется. Нелинейные явления оказываются более сложными и разнообразными и требуют специальных методов анализа.
Исследование нелинейных процессов и их моделей выявило ряд характерных нелинейных явлений. К ним, в частности, относится нелинейное распространение тепла с режимом обострения, образование ударных волн в нелинейной среде, образование уединенных волн (солитонов) в нелинейной среде с дисперсией. Некоторые нелинейные процессы приводят к стохастизации и турбулентности; в конденсированных средах возникают явления сверхпроводимости, сверхтекучести, фазовые переходы.
Распространение оптического импульса в нелинейной среде может приводить к ряду специфических нелинейно - оптических эффектов, таких как самофокусировка, двойное лучепреломление, сверхизлучение и др.
Нелинейные системы изучаются также в химии, биологии, экологии, экономике.
Изучение нелинейных систем показало, что некоторые нелинейные системы различной природы могут иметь одно и то же математическое описание. Это наблюдение позволяет сформулировать общую стратегию изучения нелинейных явлений на основе формулировки некоторого сравнительно небольшого набора базовых моделей нелинейных систем и изучать нелинейные явления на основе анализа этих моделей.
Теория нелинейных уравнений находит приложения во всех основных разделах современной физики: в теории тяготения, квантовой теории поля, теории конденсированного состояния вещества, теории плазмы, нелинейной оптики, гидро- и газодинамики. Для изучения такого разнообразия нелинейных явлений требуются различные подходы и методы, их невозможно описать в рамках единой теории.
 
1. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений

1.1. Метод половинного деления

Метод деления пополам позволяет исключать в точности половину интервала на каждой итерации. При использовании метода считается, что функция непрерывна и имеет на концах интервала разный знак. После вычисления значения функции в середине интервала одна часть интервала отбрасывается так, чтобы функция имела разный знак на концах оставшейся части. Итерации метода деления пополам прекращаются, если интервал становится достаточно малым.
При отыскании корня методом половинного деления сначала вычисляются значения функции в точках a и b - соответственно f(a) и f(b), имеющие противоположные знаки. Далее по формуле xср=(a+b)/2 вычисляется координата центра отрезка [a, b] и находится значение функции в этой точке f(xср). Оно сравнивается со значениями функции на концах отрезка. Если функция меняет знак на отрезке [a, xср], то весь отрезок [a, b] усекается до его левой части, то есть xср становится правой границей отрезка (b). Аналогично, если функция меняет знак на отрезке [xср, b], отрезок [a, b] усекается до правой части. Эти операции повторяются до тех пор, пока разница между соседними значениями x не станет меньше или равной выбранной точности.